Défis relatifs à la gestion du risque de taux d’intérêt : Partie 3—Comment tirer le meilleur parti de l’actif et du passif d’une société
par Dariush Akhtari
Gestion du risque, juin 2024
Au milieu des années 1980, Tom Ho a introduit le concept de mesures clés des taux pour tenir compte du fait que les taux d’intérêt ne se déplacent pas en parallèle sur la courbe de rendement; aujourd’hui, la plupart utilisent la courbe au comptant plutôt que la courbe de rendement. Si l’on tient compte de l’incidence de la variation des taux de chaque durée sur la valeur, la somme des répercussions sur toutes les durées devrait correspondre à l’incidence de la variation des taux sur l’ensemble de la courbe, ce qui éliminerait le problème des taux qui ne se déplacent pas en parallèle. Ainsi, on ne calculerait les mesures de la gestion de l’actif-passif (GAP) que lorsque le taux à dix ans a été déplacé à la hausse ou à la baisse d’un certain point de base, la mesure du taux clé à dix ans. Cela signifiait toutefois qu’il fallait calculer 30 durées et convexités clés pour saisir l’incidence de la variation complète des taux sur une courbe au comptant de 30 ans. D’autres ont fait remarquer que les taux au cours de certaines périodes sont raisonnablement stables et qu’au lieu d’utiliser chaque durée, on pourrait regrouper les durées dont les taux se rapprochent davantage du parallèle. Cela réduirait le temps de calcul avec peu de perte de précision. Les répartitions utilisées par plusieurs sont les taux dans des durées inférieures à deux ans, de deux à cinq ans, de cinq à dix ans, de dix à 20 ans et de 20 à 30 ans. Veuillez noter que ce partage n’est pas unique, car d’autres ont utilisé des valeurs différentes, comme des périodes de zéro à deux, de deux à cinq, de cinq à sept, de sept à dix et de dix à 30, ou d’autres périodes. En général, la désignation du taux clé est liée à la période de fin. Par exemple, les mesures pour une période de zéro à deux sont appelées taux clé à deux ans et pour deux à cinq, elles sont appelées taux clé à cinq ans. Alors que pour le calcul de la durée et de la convexité, l’ensemble de la courbe est décalé vers le haut ou vers le bas de certains points de base, pour le calcul de la durée du taux clé et de la convexité du taux clé, seules les durées affectant le taux clé sont décalées. Par exemple, pour les paramètres des taux clés sur deux ans, seules les durées de moins de deux ans sont déplacées et pour les paramètres des taux clés sur cinq ans, les taux pour les durées de deux à cinq ans sont déplacés. Un exemple de la façon dont le changement des taux est effectué est présenté plus loin dans le présent article, au tableau A1.1 de l’annexe 1.
Au début, les déplacements ci-dessus ont été utilisés, mais pour saisir un certain élément d’interaction entre des périodes voisines, le déplacement des taux a été noté de façon linéaire entre les périodes voisines des taux clés. Un exemple de la façon dont le changement des taux est appliqué est présenté plus loin dans le présent article, au tableau A1.2 de l’annexe 1. Il convient de noter que dans l’une ou l’autre méthode, la somme des variations des taux clés correspond à la variation uniforme de la courbe.
Formules et définitions
Dans ce qui suit, « V » représente les valeurs actuelles de ce qui est actualisé (généralement les flux de trésorerie ou les profits). Un indice de « + », « - » ou « 0 » est ajouté pour indiquer une variation positive ou négative, ou aucune variation, respectivement. Les valeurs « ++ » et « -- » correspondent à deux fois la taille de la variation appliquée. La lettre « k » est ajoutée à « V » pour indiquer que la variation de taux est appliquée aux taux clés k.
Le changement des valeurs actualisées lorsqu’une variation positive (+h) est appliquée à l’ensemble de la courbe est désigné par « P » pour une variation positive; lorsque la variation est négative (-h), il est désigné par « M » pour « Moins ». Lorsqu’un « k » est ajouté à « P » ou « M », cela signifie que la variation n’est appliquée qu’à la partie de la courbe couverte par le taux clé k.
Mkh = Vk- – V0 → Vk- = Mkh + V0 Note: Mkh pour une obligation sans option est positive.
Mh = V- – V0 → V- = Mh + V0 Note: Mh pour une obligation sans option est positive.
Pkh = Vk+ – V 0 → Vk+ = Pkh + V0 Note: Pkh pour une obligation sans option est négative.
Ph = V+ – V 0 → V+ = Ph + V0 Note: Ph pour une obligation sans option est négative.
Mk2h = Vk- - – V0 → Vk- - = Mk2h + V0 Note: Mk2h pour une obligation sans option est positive.
M2h = V- - – V0 → V- - = M2h + V0 Note: M2h pour une obligation sans option est positive.
Pk2h = Vk+ + – V0 → Vk+ + = Pk2h + V0 Note: Pk2h pour une obligation sans option est négative.
P2h = V+ + – V0 → V+ + = P2h + V0 Note: P2h pour une obligation sans option est négative.
Il convient de noter que même si, dans le calcul de P, M et V, le changement de taux, h, est de +0,1 % ou dix points de base (pb), dans le tableau ci-dessous, h est la valeur du changement de pb, c’est-à-dire en utilisant h = 10.
DV01 = (V+ – V-) / (2 * h) = (Ph – Mh) / (2 * h)
À noter : DV01 pour une obligation sans option est négative (à mesure que les taux augmentent, la valeur diminue).
CV01 = (V- + V+ – 2 * V0) / h2 = (Mh + Ph) / h2
À noter : CV01 pour une obligation sans option est positive.
Vitesse01 = [V+ + − V- - – 2 * (V+ − V-)] / (2 * h3) → Vitesse01 = [P2h – M2h – 2 * (Ph – Mh)] / (2 * h3) →
Vitesse01 = (P2h – M2h) / (2 * h3) – 2 * DV01 / h2
À noter, après un changement parallèle de k pb (positif ou négatif) apporté à la courbe :
VAprès = VAvant + DV01 * k + CV01 / 2 * k2 + Vitesse01 / 6 * k3 →
∆V = DV01 * k + CV01 / 2 * k2 + Vitesse01 / 6 * k3
DV01Après = DV01Avant + CV01Avant * k + Speed01Avant / 2 * k2 →
∆DV01 = CV01Avant * k + Vitesse01Avant / 2 * k2
CV01Après = CV01Avant + Vitesse01Avant * k →
∆CV01 = Vitesse01Avant * k
Pour le calcul du taux clé équivalent des mesures ci-dessus, désignez chaque mesure en ajoutant « KRk » devant elle pour indiquer que c’est le taux clé k qui est calculé en plus; remplacez P, M et V par Pk, Mk et Vk respectivement comme suit :
KRkDV01 = (Vk+ – Vk-) / (2 * h) = (Pkh – Mkh) / (2 * h) où « KRkDV01 » fait référence à DV01 pour le taux clé k.
Ajustements appliqués aux formules calculées ci-dessus
Étant donné que les variations de taux dans le calcul de Pkhs correspondent à un décalage parallèle de l’ensemble de la courbe, on s’attendrait à ce que la somme de Pkhs corresponde à Ph. De même, on s’attend à ce que la somme de Mkhs corresponde à Mh. Toutefois, bien que la somme des mesures de taux clés soit proche de celle des mesures lorsque le changement est appliqué à l’ensemble de la courbe, elles ne sont pas identiques. Cela est dû au fait que des interactions entre les taux clés ont une incidence sur la valeur (taux clé croisé ou grecques croisées). Veuillez noter que ce problème s’aggrave lorsque la taille du changement est accrue, comme il est mentionné à la partie 2, en raison des points d’inflexion.
En pratique, un certain nombre de méthodes sont appliquées pour corriger cette situation. La première consiste à ne pas tenir compte des différences, c’est-à-dire à ignorer toute incidence sur le taux interclés. Il s’agit de la pire méthode.
La deuxième consiste à mettre à l’échelle KRkDV01, KRkCV01 et KRkVitesse01 pour que leur somme corresponde à leurs mesures respectives dans le changement parallèle, à savoir DV01, CV01 et Vitesse01 respectivement, afin de refléter l’impact du taux interclés sur chaque mesure. Ce n’est pas non plus une bonne approche, car elle suggère d’appliquer différentes échelles aux valeurs Pks et Mks dans le calcul de ces mesures. Il convient de noter que DV01, CV01 et Vitesse01 sont des dérivés de Pks et Mks. Il faut donc trouver une échelle différente, Sm, pour chaque paramètre KRMetric, comme ci-dessous, puis utiliser le paramètre KRMetric mis à l’échelle pour obtenir des approximations.
alors KRMetricutilisé = Sm * KRMetriccalculé où le paramètre métrique fait référence à DV01, CV01 et Vitesse01.
Une troisième méthode consiste à appliquer une échelle à Pks pour faire correspondre P et une échelle différente à Mks pour correspondre à M. Parmi les trois approches, celle-ci convient mieux. Toutefois, l’application aveugle de la mise à l’échelle aux mesures calculées est erronée. Dans le prochain article de la présente série, je soulignerai à quel point de telles échelles seraient draconiennes. Lorsque l’échelle approche 100 % (disons 95 % à 105 %), l’impact pourrait ne pas être important. Toutefois, dans certaines situations, l’une ou les deux échelles pourraient être supérieures à 300 % ou inférieures à 30 %. Il faudrait donc trouver une échelle, Sm, pour chaque KRValue comme ci-dessous, puis utiliser la KRValue mise à l’échelle dans le calcul de KRMetrics.
alors KValeurutilisé = Sm * KValeurcalculé où la valeur fait référence à P et M.
Une quatrième méthode consiste à tenir compte de chaque incidence sur les taux interclés (voir l’annexe 3 du présent article pour savoir comment les calculer). Bien qu’elle soit plus appropriée puisqu’elle saisit l’impact de chaque taux clé sur un autre, cette méthode nécessite n fois plus d’exécutions où n représente le nombre de taux clés. Il convient de noter que cette méthode exige la saisie de toutes les combinaisons des changements à la hausse et à la baisse de chaque taux clé avec d’autres taux clés, ce qui augmente le temps d’exécution. En particulier, lorsqu’on utilise des modèles stochastiques pour le passif des sociétés d’assurances, le nombre considérable d’exécutions nécessaires pour cette méthode rend presque impossible son utilisation. En effet, la nécessité de ces exécutions supplémentaires est l’une des raisons pour lesquelles la méthode de mise à l’échelle est utilisée, ce qui signifie que la mise à l’échelle est utilisée pour tenir compte de l’incidence des taux interclés dans les mesures calculées.
Nouvelle méthode proposée
Pour éviter les exécutions supplémentaires et les facteurs scalaires excessivement élevés ou faibles, mais pour pouvoir saisir les grecques croisées sans avoir besoin de facteur scalaire, j’ai mis au point l’approche suivante, que j’appelle le taux clé cumulatif. Plutôt que des changements de taux clés normaux, saisissons d’abord un changement de taux clé cumulatif (voir l’annexe 2). Le changement de taux dans les périodes (utilisé pour le calcul des taux clés cumulatifs) représente la somme du changement de taux dans toutes les périodes utilisées dans les taux clés précédents. Si nous supposons que les taux clés utilisés sont de deux, cinq, dix, 20 et 30 ans, le changement cumulatif de KR sur deux ans est le même que le changement de taux de KR sur deux ans. Toutefois, le changement cumulatif de KR sur cinq ans correspond à la somme du changement de KR sur deux ans et cinq ans au titre des taux pour les périodes touchant les taux clés de deux ans et de cinq ans. De même, le changement cumulatif de KR sur dix ans correspond à la somme du changement de KR sur deux ans, cinq ans et dix ans des taux pour les périodes touchant les taux clés sur deux ans, cinq ans et dix ans. Cela signifie que le changement cumulatif de KR sur 30 ans des taux (le dernier taux clé) est la somme des changements de taux de KR sur deux ans, cinq ans, dix ans, 20 ans et 30 ans, ce qui équivaudra en fait à un changement uniforme sur la totalité de la courbe. Pour calculer les valeurs de KR à partir de la variation cumulative de KR à la hausse/baisse des taux, nous utilisons la différence de la valeur générée par la variation cumulative actuelle de KR à la hausse/baisse des taux moins la valeur créée par la variation cumulative de KR à la hausse/baisse des taux immédiatement antérieure. Cette méthode intègre les grecques croisées entre les KR de deux ans et de cinq ans dans le KR de cinq ans. De même, la grecque croisée pour les KR de deux ans, de cinq ans et de dix ans est intégrée aux KR de dix ans. Essentiellement, toutes les grecques croisées sont incluses dans les KR calculées et aucune mise à l’échelle n’est nécessaire. Comme aucune mise à l’échelle n’est appliquée, la somme de KRkDV01, KRkCV01 et KRkVitesse01 équivaut à DV01, CV01 et Vitesse01 respectivement. Cette valeur est plus proche de la réalité, car les taux clés plus proches devraient comprendre une plus grande partie des grecques croisées, tandis que la mise à l’échelle laisse à entendre que les grecques croisées sont proportionnelles à la valeur plutôt qu’à la proximité des taux.
Selon la formule, pour les hausses et les baisses, nous avons :
où les taux CK sont utilisés dans les calculs des valeurs décalées, et 
où les valeurs CK sont les valeurs décalées créées lorsque les taux décalés cumulatifs sont utilisés (la valeur fait référence à P et M comme ci-dessus).
Dans les parties suivantes de cette série d’articles, je vous expliquerai comment cette méthode permet d’obtenir des résultats plus stables, comparativement aux méthodes susmentionnées, avec moins d’exécutions.